Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\)
b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\)
a)
\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} - 2x = t,\) ta có phương trình: \({t^2} - 2t - 3 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)
\({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm số kép: x1 = x2 = 1
Advertisements (Quảng cáo)
\({x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)
\({x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = 3\)
b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3,\) ta có: \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2 = 0\)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 3t + 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)
\({t_1} = 1;{t_2} = 2\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr
& \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)