Câu IV.1, IV.2, IV.3, IV.4, IV.5 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Khẳng định nào sau đây là...

Câu IV.1 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho hàm số $y =  - 3{x^2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A) Khi 0 < x < 15, hàm số đồng biến

B) Khi -1 < x < 1, hàm số đồng biến

C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến

D) Khi -15 < x < 1, hàm số đồng biến

Cho hàm số: $y =  - 3{x^2}$. Khẳng định sau đây là đúng.

Chọn C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến.

Câu IV.2 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta giải phương trình nào sau đây?

A) ${x^2} + Sx + P = 0$

B) ${x^2} - Sx + P = 0$

C) ${x^2} - Sx - P = 0$

D) ${x^2} + Sx - P = 0$

Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình

Chọn B) ${x^2} - Sx + P = 0$

Câu IV.3 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) ${x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0$

b) ${x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0$

c) $2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0$

d) $\left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0$

a)

$\eqalign{ & {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} + 4x - 3x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) + 2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x + 2 = 0} \cr {{x^2} + 2x - 3 = 0} \cr } } \right. \cr  & x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \cr}$

${x^2} + 2x - 3 = 0$. Phương trình có dạng: $a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0$

${x_1} = 1;{x_2} = {{ - 3} \over 1} =  - 3$

Vậy phương trình có 3 nghiệm: ${x_1} =  - 2;{x_2} = 1;{x_3} =  - 3$

b)

$\eqalign{ & {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - 6x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x - 1 = 0} \cr {{x^2} - x - 6 = 0} \cr } } \right. \cr  & x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr  & {x^2} - x - 6 = 0 \cr  & \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 1 + 24 = 25 > 0 \cr  & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr  & {x_1} = {{1 + 5} \over {2.1}} = 3 \cr  & {x_2} = {{1 - 5} \over {2.1}} = - 2 \cr}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ${x_1} = 1;{x_2} = 3;{x_3} =  - 2$

c)

$\eqalign{ & 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + {x^2} - 3\sqrt 2 {x^2} - 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right)^2} - 3\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right) - 4 = 0 \cr}$

Đặt $\sqrt 2 {x^2} + x = t,$ ta có phương trình: ${t^2} - 3t - 4 = 0\)

Phương trình có dạng: $a - b + c = 0;1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0$

${t_1} =  - 1;{t_2} =  - {{ - 4} \over 1} = 4$

Với $t =  - 1 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x + 1 = 0$

$\Delta  = 1 - 4.\sqrt 2 .1 = 1 - 4\sqrt 2  < 0$ phương trình vô nghiệm

Với $t = 4 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + x - 4 = 0$

$\eqalign{ & \Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - 4} \right) = 1 + 16\sqrt 2 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } \cr & {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 - \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \cr}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm.

d)

$\eqalign{ & \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 5} \right]\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)^2} - 5\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr}$

Đặt $2{x^2} + 7x - 3 = t,$ ta có phương trình: ${t^2} - 5t - 6 = 0$

Phương trình có dạng $a - b + c = 0;1 - \left( { - 5} \right) + \left( { - 6} \right) = 0$

${t_1} =  - 1;{t_2} =  - {{ - 6} \over 1} = 6$

Với t = -1 ta có:

$\eqalign{ & 2{x^2} + 7x - 3 = - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 2 = 0 \cr & \Delta = {7^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 49 + 16 = 65 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {65} \cr & {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4} \cr & {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4} \cr}$

Với t = 6, ta có: $2{x^2} + 7x - 3 = 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 9 = 0$

Phương trình có dạng: $a + b + c = 0;2 + 7 + \left( { - 9} \right) = 0$

${x_1} = 1;{x_2} =  - {9 \over 2}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

${x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4};{x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4};{x_3} = 1;{x_4} =  - {9 \over 2}$

Câu IV.4 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình: ${x^2} + px + 1 = 0$ có hai nghiệm. Xác định p biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 254.

Cho phương trình: ${x^2} + px + 1 = 0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm thì $\Delta  \ge 0$

$\eqalign{ & \Delta = {p^2} - 4 \cr & \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {p \ge 2} \cr {p \le - 2} \cr} } \right. \cr}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${x_1} + {x_2} =  - p;{x_1}{x_2} = 1$

Theo bài ra ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 254$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr & \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr & \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {p = 16} \cr {p = - 16} \cr} } \right. \cr}$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy với p = 16 hoặc p = -16 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 254$

Câu IV.5 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình: ${x^4} - 13{x^2} + m = 0$. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) Có 4 nghiệm phân biệt

b) Có 3 nghiệm phân biệt

c) Có 2 nghiệm phân biệt

d) Có một nghiệm

e) Vô nghiệm.

Cho phương trình: ${x^4} - 13{x^2} + m = 0$               (1)

Đặt ${x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,$ ta có phương trình: ${t^2} - 13t + m = 0$           (2)

$\Delta  = 169 - 4m$

a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi

$\left\{ {\matrix{ {\Delta = 169 - 4m > 0} \cr {{t_1}{t_2} = m > 0} \cr {{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m < {{169} \over 4}} \cr  {m > 0} \cr} \Leftrightarrow 0 < m < {{169} \over 4}} \right.} \right.$

b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi:

$\left\{ {\matrix{ {\Delta = 169 - 4m > 0} \cr {{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr {{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m < {{169} \over 4}} \cr  {m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.$

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.

Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi $\Delta  = 169 - 4m = 0$

$\Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}$

Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

$\left\{ {\matrix{ {\Delta = 169 - 4m > 0} \cr {{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m < {{169} \over 4}} \cr  {m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.$

Vậy với $m = {{169} \over 4}$ hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép ${t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0$

Nếu phương trình (2) có một nghiệm t₁ = 0. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

${t_1} + {t_2} = 13 \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0$

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.

e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

${t_1} + {t_2} = 13 > 0$ vô lý

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.

Suy ra: $\Delta  = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}$