Chứng minh:
x3+y3+z3−3xyz=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]
Từ đó chứng tỏ:
a) Với ba số x, y, z không âm thì x3+y3+z33≥xyz
b) Với ba số a, b, c không âm thì a+b+c3≥3√abc (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Gợi ý làm bài
Ta có:
12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]
=12(x+y+z)[(x2−2xy+y2)+(y2−2yz+z2)+(z2−2zx+x2)]
=12(x+y+z)(x2−2xy+y2+y2−2yz+z2+z2−2zx+x2)
=12(x+y+z)(2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx)
=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
=x3+xy2+xz2−x2y−xyz−x2z
+x2y+y3+yz2−xy2−y2z−xyz
Advertisements (Quảng cáo)
+x2z+y2z+z3−xyz−yz2−xz2
=x3+y3+z3−3xyz
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh.
a) Nếu x≥0,y≥0,z≥0 thì:
x+y+z≥0
(x−y)2+(y−z)2+(z−z)2≥0
Suy ra:
x3+y3+z3−3xyz≥0⇔x3+y3+z3≥3xyz
Hay: x3+y3+z33≥xyz
b) Nếu a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0$ thì $\root 3 \of a \ge 0,\root 3 \of b \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0}
Đặt x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c thì x, y, z cũng không âm.
Từ chứng minh trên, ta có: {{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz
Hay:
\eqalign{ & {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr & \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr}