Câu 95 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng...

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:

a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.

Gợi ý làm bài

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Ta có: $a > 0,b > 0,c > 0$ suy ra: $\sqrt a  > 0,\sqrt b  > 0,\sqrt c  > 0$

Đặt $x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c$

Ta có: 

$\eqalign{ & x + y + z > 0,{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0, \cr & {\left( {y - z} \right)^2} \ge 0,{\left( {z - x} \right)^2} \ge 0 \cr}$

Suy ra: $\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0$

$\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0$

$\Leftrightarrow {1 \over 2}(x + y + z)\left[ {({x^2} - 2xy + {y^2})({y^2} - 2yz + {z^2})({z^2} - 2zx + {x^2})} \right] \ge 0$

$\Leftrightarrow {1 \over 2}(x + y + z)(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx) \ge 0$

$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z$

           $+ {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz$

           $+ {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2} \ge 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr & \Leftrightarrow {{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz \cr}$

Thay $x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c$, ta có:

$\eqalign{ & {{{{(\root 3 \of a )}^3} + {{(\root 3 \of b )}^3} + {{(\root 3 \of c )}^3}} \over 3} \ge \root 3 \of a .\root 3 \of b .\root 3 \of c \cr & \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr}$

Các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thích thì ${{a + b + c} \over 3}$ không đổi.

Vì ${{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc}$ và ${{a + b + c} \over 3}$ không đổi nên $\root 3 \of {abc}$ $\root 3 \of {abc}$ đạt giá trị lớn nhất ${{a + b + c} \over 3}$ khi a = b = c.

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.