Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh các đẳng thức:
a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 – \sqrt 5 } \right)}^2}}}} – \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = 8.\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \Rightarrow 2 > \sqrt 3 > 0\)
Suy ra: \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } > 0\)
Ta có:
\({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } } \right)^2} = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 – \sqrt 3 } + 2 – \sqrt 3 \)
\( = 4 + 2\sqrt {4 – 3} = 4 + 2\sqrt 1 = 4 + 2 = 6\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6\)
Vì \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\) nên \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) Ta có:
\(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 – \sqrt 5 } \right)}^2}}}} – \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 5 } \right)}^2}} }} – {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\)
\( = {2 \over {\left| {2 – \sqrt 5 } \right|}} – {2 \over {\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}} = {2 \over {\sqrt 5 – 2}} – {2 \over {\sqrt 5 + 2}}\)
\( = {{2\left( {\sqrt 5 + 2} \right) – 2\left( {\sqrt 5 – 2} \right)} \over {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}} = {{2\sqrt 5 + 4 – 2\sqrt {5 + 4} } \over {5 – 4}} = 8\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.