Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \), AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Gợi ý làm bài
(h.bs.21).
Đường phân giác của góc A cắt đường phân giác của góc D tại M thì tam giác ADM có hai góc bằng
60º và 30º nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau. Lập luận đó chứng tỏ hình MNPQ có 4 góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.
Trong tam giác vuông ADM có \(DM = AD\sin \widehat {DAM} = b\sin 60^\circ = {{b\sqrt 3 } \over 2}.\)
Trong tam giác vuông DCN ( N là giao của đường phân giác góc D và đường phân giác góc C) có \(DN = DC\sin \widehat {DCN}{\rm{ = asin60}}^\circ {\rm{ = }}{{a\sqrt 3 } \over 2}.\)
Vậy \(MN = DN – DM = (a – b){{\sqrt 3 } \over 2}.\)
Trong tam giác vuông DCN có \(CN = CD\cos 60^\circ = {a \over 2}.\) Trong tam giác vuông BCP ( P là giao của đường phân giác góc C với đường phân giác góc B) có \(CP = CB\cos 60^\circ = {b \over 2}.\)
Vậy: \(NP = CN – CP = {{a – b} \over 2}.\)
Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ là
\(MN \times NP = {(a – b)^2}{{\sqrt 3 } \over 4}\)