Câu I.4 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có...

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat A = 120^\circ$, AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Gợi ý làm bài

(h.bs.21). 

Đường phân giác của góc A cắt đường phân giác của góc D tại M thì tam giác ADM có hai góc bằng 

60º và 30º nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau. Lập luận đó chứng tỏ hình MNPQ có 4 góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông ADM có $DM = AD\sin \widehat {DAM} = b\sin 60^\circ  = {{b\sqrt 3 } \over 2}.$

Trong tam giác vuông DCN ( N là giao của đường phân giác góc D và đường phân giác góc C) có $DN = DC\sin \widehat {DCN}{\rm{ = asin60}}^\circ {\rm{ = }}{{a\sqrt 3 } \over 2}.$

Vậy $MN = DN - DM = (a - b){{\sqrt 3 } \over 2}.$

Trong tam giác vuông DCN có $CN = CD\cos 60^\circ  = {a \over 2}.$ Trong tam giác vuông BCP ( P là giao của đường phân giác góc C với đường phân giác góc B) có $CP = CB\cos 60^\circ  = {b \over 2}.$

Vậy: $NP = CN - CP = {{a - b} \over 2}.$

Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ là 

$MN \times NP = {(a - b)^2}{{\sqrt 3 } \over 4}$