Câu 97 trang 112 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A...

Cho tam giác ABC vuông ở A, $\widehat C = 30^\circ ,BC = 10cm.$

a) Tính AB, AC.

b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Chứng minh:

MN // BC và MN = AB.

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Gợi ý làm bài

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:

$AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ  = 10.{1 \over 2} = 5\,(cm)$

$AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ  = 10.{{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,(cm)$

b) Ta có:

$BM \bot BN$ (tính chất hai góc kề bù) $ \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,(1)$

$AM \bot BM$ (gt) $\Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,(2)$

$AN \bot BN$ (gt) $\Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,(3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Suy ra: ∆AMB = ∆NBM (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}$

Mà $\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,(gt)$

Suy ra: $\widehat {NMB} = \widehat {MBC}$

Suy ra MN // BC (có cặp so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN.

c) Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$

Suy ra: $\widehat B = 90^\circ  - \widehat C = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$

Suy ra: $\widehat {ABM} = {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.60^\circ  = 30^\circ$

Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ$

$\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ$

Suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆MAB (g.g)

Tỉ số đồng dạng: $k = {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}$