Câu 99 trang 122 Sách BT Toán 9 Tập 1 Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác...

Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:

a) ∆ANL  đồng dạng ∆ABC;

b) AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

Gợi ý làm bài

a) Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:

$\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ$

$\widehat A$ chung

Suy ra ∆BNA đồng dạng ∆CLA (g.g)

Suy ra: ${{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}$

Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:

${{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}$

$\widehat A$ chung

Suy ra ∆ABC đồng dạng ∆ANL (c.g.c

b) ABN vuông tại N nên $AN = AB.\cos \widehat B\,(1)$

∆BCL vuông tại L nên $BL = BC.\cos \widehat B\,(2)$

∆ACM vuông tại M nên $CM = AC.\cos \widehat C\,(3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

$AN.BL.CM = AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.$