Giải mục 1 trang 18, 19 Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1}, {x_2}$...

Hoạt động1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 18

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$.

Tính ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}.{x_2}$.

Dựa vào công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.

+ Nếu $\Delta$> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$ để tính ${x_1} + {x_2}$, ${x_1}.{x_2}$

${x_1} + {x_2}$ = $\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = - \frac{{2b}}{{2a}} = - \frac{b}{a}$

${x_1}.{x_2}$= $\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{{( - b)}^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - ({b^2} - 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}$

Thực hành1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 19

Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) ${x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0$

b) $15{x^2} - 2x - 7 = 0$

c) $35{x^2} - 12x + 2 = 0$

Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

S = ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$; P = ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$

a) Ta có $\Delta = {\left( { - 2\sqrt 7 } \right)^2} - 4.1.7 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép ${x_1},{x_2}$. Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 2\sqrt 7$, ${x_1}.{x_2} = 7$.

b) Ta có $\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.15.( - 7) = 424 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$. Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{2}{{15}}$, ${x_1}.{x_2} = \frac{{ - 7}}{{15}}$.

c) Ta có $\Delta = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.35.2 = - 136 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Thực hành2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 19

Cho phương trình ${x^2} + 4x - 21 = 0$. Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}}$

b) ${x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}.{x_2}$

Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

S = ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$; P = ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$

Phương trình ${x^2} + 4x - 21 = 0$ có $\Delta = {4^2} - 4.( - 21) = 100 > 0$ nên nó có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - 4$;${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = - 21$

a) Ta có $\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{2.( - 4)}}{{ - 21}} = \frac{8}{{21}}$

b) Ta có ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2$

Suy ra ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {( - 4)^2} - 2.( - 21) = 58$.

Thực hành3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 19

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $- 315{x^2} - 27x + 342 = 0$

b) $2022{x^2} + 2023x + 1 = 0$

Dựa vào: Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = 1$ , nghiệm còn lại là ${x_2} = \frac{c}{a}$.

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = - 1$ , nghiệm còn lại là ${x_2} = - \frac{c}{a}$.

a) Phương trình $- 315{x^2} - 27x + 342 = 0$có a + b + c = -315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = 1$; ${x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{342}}{{ - 315}} = - \frac{{38}}{{35}}$

b) Phương trình $2022{x^2} + 2023x + 1 = 0$ có a - b + c = 2022 – 2023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1$; ${x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{1}{{2022}}$.