Giải mục 2 trang 7, 8, 9 Toán 9 Chân trời sáng tạo tập 1: Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?...

Hoạt động2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7

Xét hai phương trình

$2x + \frac{1}{{x - 2}} - 4 = \frac{1}{{x - 2}}\,\,(1)$ và $2x - 4 = 0\,\,(2)$

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) $x = 2$ có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) $x = 2$ có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

- Quy đồng mẫu thức phương trình (1) để chuyển về phương trình (2).

- Thay $x = 2$ vào phương trình (1) và phương trình (2) để kiểm tra $x = 2$ có phải là nghiệm hay không.

a)

$\begin{array}{l}2x + \frac{1}{{x - 2}} - 4 = \frac{1}{{x - 2}}\,\,\\\frac{{2x(x - 2)}}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{4(x - 2)}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\\\frac{{2x(x - 2) + 1 - 4(x - 2)}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\\\frac{{2{x^2} - 4x + 1 - 4x + 8}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\\\frac{{2{x^2} - 8x + 8}}{{x - 2}} = 0\\\frac{{2({x^2} - 4x + 4)}}{{x - 2}} = 0\\\frac{{2{{(x - 2)}^2}}}{{x - 2}} = 0\end{array}$

Nếu $x - 2 = 0$ thì phương trình vô nghĩa.

Nếu $x - 2 \ne 0$ suy ra $x \ne 2$ thì phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}2(x - 2) = 0\\2x - 4 = 0\end{array}$

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì $x \ne 2$.

b) Thay $x = 2$ vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l}2.2 + \frac{1}{{2 - 2}} - 4 = \frac{1}{{2 - 2}}\,\,\\0 + \frac{1}{0} - 4 = \frac{1}{0}\end{array}$

Điều này là vô lí nên $x = 2$ không phải là nghiệm của phương trình (1).

c) Thay $x = 2$ vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}2.2 - 4 = 0\\4 - 4 = 0\\0 = 0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x = 2$ là nghiệm của phương trình (2).

Thực hành3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 8

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ - 14}}{{x - 5}}$

b) $\frac{3}{{3x - 2}} = \frac{x}{{x + 2}} - 1$

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

a) $\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ - 14}}{{x - 5}}$

Điều kiện xác định: $x + 7 \ne 0$ và $x - 5 \ne 0$

khi $x \ne - 7$ và $x \ne 5$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \ne - 7$ và $x \ne 5$.

b) $\frac{3}{{3x - 2}} = \frac{x}{{x + 2}} - 1$

Điều kiện xác định: $3x - 2 \ne 0$ và $x + 2 \ne 0$

khi $x \ne \frac{2}{3}$ và $x \ne - 2$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \ne \frac{2}{3}$ và $x \ne - 2$.

Hoạt động3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 8

Cho phương trình $\frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1$.

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}\frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\\\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\end{array}$

$\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{(x + 1)(x - 2)}}$

${x^2} + x = {x^2} - 4$

$x = - 4$

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) $x = - 4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

- Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

- Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình.

- Thay $x = - 4$ vào phương trình để kiểm tra có phải là nghiệm hay không.

a) Điều kiện xác định: $x - 2 \ne 0$ và $x + 1 \ne 0$

khi $x \ne 2$ và $x \ne - 1$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \ne 2$ và $x \ne - 1$.

b) $\frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1$

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là $x + 1$: $\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là $(x - 2)(x + 1)$: $\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{(x + 1)(x - 2)}}$

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.${x^2} + x = {x^2} - 4$

Giải phương trình ta được $x = - 4$

c) Thay $x = - 4$ vào phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{{ - 4}}{{( - 4) - 2}} = \frac{1}{{( - 4) + 1}} + 1\\\frac{{ - 4}}{{ - 6}} = \frac{1}{{ - 3}} + 1\\\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0\\0 = 0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x = - 4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy $x = - 4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Thực hành4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9

Giải các phương trình:

a) $\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2$;

b) $\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 3)(x - 2)}}$.

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

a) $\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2$

Điều kiện xác định: $x \ne - 5$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\\\frac{{2(x + 6)}}{{2(x + 5)}} + \frac{{3(x + 5)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{2.2(x + 5)}}{{2(x + 5)}}\\2x + 12 + 3x + 15 = 4x + 20\\x = - 7\end{array}$

Ta thấy: $x = - 7$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - 7$.

b) $\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 3)(x - 2)}}$

Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 3)(x - 2)}}\\\frac{{2(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}} - \frac{{3(x - 2)}}{{(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 2)(x - 3)}}\\2x - 6 - 3x + 6 = 3x - 20\\4x = 20\\x = 5\end{array}$

Ta thấy $x = 5$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$.

Vận dụng2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9

Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi là 20%.

- Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là $x$ (km/h), $x > 0$.

- Biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn $x$ bằng công thức $s = v.t$.

- Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình ẩn $x$.

- Giải phương trình nhận được.

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là $x$ (km/h), $x > 0$.

Thời gian lúc đi của ô tô là $\frac{{120}}{x}$ (giờ).

Tốc độ lúc về của ô tô là $x + 20\% x = 1,2x$ (km/h).

Thời gian lúc về của ô tô là $\frac{{120}}{{1,2x}}$ (giờ).

Đổi 4 giờ 24 phút = $\frac{{22}}{5}$ giờ.

Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{{120}}{x} + \frac{{120}}{{1,2x}} = \frac{{22}}{5}\\\frac{{120.6}}{{6x}} + \frac{{120.5}}{{6x}} = \frac{{22.1,2x}}{{6x}}\\720 + 600 = \frac{{132}}{5}x\\x = 50\end{array}$

Ta thấy $x = 50$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.