Bài tập 9.28 trang 89 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54...

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều ${60^o}$ tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Chứng minh $AD = BD = BE = EC = FC = FA$ và $\widehat {DAF} = \widehat {AFC} = \widehat {FCE} = \widehat {CEB} = \widehat {EBD} = \widehat {BDA} = {120^o}$, suy ra ADBECF là lục giác đều.

Vì lục giác ADBECF nội tiếp đường tròn (O) nên $OA = OB = OC = OD = OE = OF$.

Vì phép quay ngược chiều ${60^o}$ tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F nên $\widehat {AOD} = \widehat {BOE} = \widehat {COF} = {60^o}$.

Vì tam giác ABC đều nên AO, BO là các đường phân giác của tam giác ABC.

Ta có: $\widehat {BAO} = \widehat {ABO} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = {30^o}$

Tam giác OAB có: $\widehat {BOA} = {180^o} - \widehat {BAO} - \widehat {ABO} = {120^0}$.

Suy ra: $\widehat {BOD} = \widehat {AOB} - \widehat {AOD} = {60^o}$

Tam giác AOD cân tại O (do $OA = OD$), mà $\widehat {AOD} = {60^o}$ nên tam giác DAO đều.

Do đó, $DA = AO = OD,\widehat {DAO} = \widehat {ADO} = {60^o}$

Tương tự ta có: $DO = OB = BD,\widehat {ODB} = \widehat {OBD} = {60^o}$, $EO = OB = BE,\widehat {OEB} = \widehat {OBE} = {60^o}$, $EO = OC = CE,\widehat {OEC} = \widehat {OCE} = {60^o}$, $FO = OC = CF,\widehat {OFC} = \widehat {OCF} = {60^o}$, $FO = OA = AF,\widehat {OFA} = \widehat {OAF} = {60^o}$

Do đó, $AD = BD = BE = EC = FC = FA$ và $\widehat {DAF} = \widehat {AFC} = \widehat {FCE} = \widehat {CEB} = \widehat {EBD} = \widehat {BDA} = {120^o}$

Vậy ADBECF là lục giác đều.