Bài tập 9.27 trang 89 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hình thoi ABCD có $\widehat A = {60^o}$. Gọi M, N, P...

Cho hình thoi ABCD có $\widehat A = {60^o}$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

+ Chứng minh tam giác ABD đều nên $BD = AB = AD$.

+ Chứng minh $MB = BN = PD = DQ = MQ = NP = \frac{{AB}}{2}$.

+ Chứng minh $\widehat B = \widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat D = \widehat {DQM} = \widehat {QMB} = {120^o}$

+ Suy ra MBNPDQ là lục giác đều.

Vì ABCD là hình thoi nên $AB = BC = CD = AD$.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên $MB = BN = NC = PC = PD = DQ = \frac{{AB}}{2}$ (1)

Tam giác ABD có: $AB = AD$ nên tam giác ABD là tam giác cân tại A, mà $\widehat A = {60^o}$ nên tam giác ABD đều. Do đó, $AB = BD$.

Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD (gt) nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, $MQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB$ (2).

Vì N, P lần lượt là trung điểm của BC và CD (gt) nên NP là đường trung bình của tam giác CBD. Do đó, $NP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $MB = BN = PD = DQ = MQ = NP$ (*)

Vì ABCD là hình thoi nên $\widehat {ABC} = \widehat {ADC};\widehat C = \widehat A = {60^o}$

Ta có:

$\widehat {ABC} + \widehat {ADC} + \widehat C + \widehat A = {360^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {360^o} - {2.60^o} = {120^o}$

Tam giác NPC có: $NC = PC$ nên tam giác NPC cân tại C. Mà $\widehat C = {60^o}$ nên tam giác NPC đều.

Do đó, $\widehat {CNP} = {60^o}$

Ta có: $\widehat {BNP} + \widehat {PNC} = {180^o}$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {BNP} = {120^o}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\widehat {NPD} = \widehat {DQM} = \widehat {QMB} = {120^o}$

Do đó: $\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat {DQM} = \widehat {QMB} = {120^o}$ (**)

Từ (*) và (**) ta có: MBNPDQ là lục giác đều.