Bài 49 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1, Khử mẫu của biểu thức lấy căn...

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$ab\sqrt{\frac{a}{b}};\,\,\, \frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.$

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{\frac{a}{b}}$ có nghĩa khi $\frac{a}{b}\geq 0$ và $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$

Nếu $a\geq 0, b> 0$ thì $ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}.$

Nếu $a<0,b<0$ thì $ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}.$

Tương tự như vậy ta có: $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}.$

Nếu $a>0,b>0$ thì $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}.$

Nếu $a<0,b<0$ thì  $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}.$

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}.$

Điều kiện để căn thức có nghĩa là $b+1\geq 0$ hay $b\geq -1.$ 

Do đó:

Nếu b>0 thì $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }.$

Nếu $-1\leq b< 0$ thì $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}.$

Điều kiện để $\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}$ có nghĩa là $\frac{9a^{3}}{36b}\geq 0$ hay $\frac{a}{b}\geq 0$

Cách 1. 

$\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}\cdot ab}}{4\left | b \right |}=\frac{2\left | a \right |\sqrt{ab}}{4b}.$

=$\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

Cách 2.

Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương:

$\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b}{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2\left | b \right |}=\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

Điều kiện để $\sqrt{\frac{2}{xy}}$ có nghĩa là $\frac{2}{xy}\geq 0$ hay xy>0.

Do đó 

$3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{\left | xy \right |}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.$

baitapsgk.com