Bài 51 trang 87 sgk Toán 9 tập 2, Bài 51. Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn...

Bài 51. Cho $I, O$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với $\widehat{A}$ = $60^0$. Gọi $H$ là giao điểm của các đường cao $BB’$ và $CC’$

Chứng minh các điểm $B, C, O, H, I$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\widehat{BOC}$ = $2\widehat{BAC}$ =  $2.60^0$ = $120^0$       (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và $\widehat{BHC}$ = $\widehat{B’HC’}$ (đối đỉnh)

mà $\widehat{B’HC’}$ = $180^0$ - $\widehat{A}$ = $180^0- 60^0 = 120^0$

nên $\widehat{BHC}$ = $120^0$                 ⁽²⁾

$\widehat{BIC}$ = $\widehat{A}$ + $\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

          = $60^0$ + $\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}$ = $60^0+ 60^0$ 

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó $\widehat{BIC}$ = $120^0$

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm $O, H, I$ cùng nằm trên các cung chứa góc $120^0$ dựng trên đoạn thẳng $BC$. Nói cách khác, năm điểm $B, C, O, H, I$ cùng thuộc một đường tròn