Rút gọn biểu thức:
a) \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\);
b) \(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} - 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}} - \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \).
Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có: \(7 - \sqrt 7 = \sqrt 7 .\sqrt 7 - \sqrt 7 = \sqrt 7 \left( {\sqrt 7 - 1} \right)\) nên \(\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} = - \sqrt 7 \)
Tương tự, \(\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} = \sqrt 7 \). Do đó
\(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right) \\= \left( { - \sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right) \\= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = - 4\)
b) Áp dụng quy tắc khai căn một thương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta có
\(\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};\;\sqrt {\frac{{49}}{3}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{4}{9}\).
Do đó
\(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} - 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}} - \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \\ = \frac{{28}}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{4} - 3.\frac{7}{{\sqrt 3 }} - \frac{9}{4}.\frac{4}{9} = - 1\)