Bài 7 trang 65 vở thực hành Toán 9: Sử dụng định nghĩa căn bậc ba, chứng minh rằng √[3]7 + 5√2 = √2 + 1...

Sử dụng định nghĩa căn bậc ba, chứng minh rằng $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1$.

Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn ${x^3} = a$ (kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$).

Theo định nghĩa, $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}$ là một số thực x thỏa mãn ${x^3} = 7 + 5\sqrt 2$.

Vì vậy, để chứng minh $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1$ chỉ cần chứng tỏ ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} = 7 + 5\sqrt 2$

Thật vậy áp dụng hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$ ta có:

${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 3{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 3\sqrt 2 + 1 \\= 2\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt 2 + 1 = 7 + 5\sqrt 2$

Vậy $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1$.