Không dùng MTCT, tính \({\left( {\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}} \right)^3}\). Sử dụng kết quả nhận được, hãy giải thích vì sao \(\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{{5.7}}\)
+ Ta có \({\left( {\sqrt[3]{A}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{A^3}}} = A\) với A là một biểu thức đại số.
+ \({\left( {a.b} \right)^3} = {a^3}.{b^3}\)
+ Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn \({x^3} = a\) (kí hiệu là \(\sqrt[3]{a}\)).
Advertisements (Quảng cáo)
Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích ta có \({\left( {a.b} \right)^3} = {a^3}.{b^3}\). Vì vậy \({\left( {\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^3}.{\left( {\sqrt[3]{7}} \right)^3} = 5.7 = 35\).
Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc ba ta có \({\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^3} = 5\) và \({\left( {\sqrt[3]{7}} \right)^3} = 7\). Do đó \({\left( {\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}} \right)^3} = 5.7\) (*)
Lại theo định nghĩa căn bậc ba, từ (*) suy ra \(\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{{5.7}}\).
Nhận xét. Một cách tổng quát, có thể chứng minh các quy tắc nhân, chia, nâng lên lũy thừa các căn bậc ba sau đây:
- \(\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a.b}}\) (Quy tắc nhân hai căn bậc ba);
- \(\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a:b}},\left( {b \ne 0} \right)\) (Quy tắc chia hai căn bậc ba);
\({\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^n} = \sqrt[3]{{{a^n}}},\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) (Quy tắc nâng lên lũy thừa một căn bậc ba).