Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} – 5x + 3m – 2} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
\(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\)
Tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
Hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} – 5x + 3m – 2} \) xác định khi \(2{x^2} – 5x + 3m – 2 \ge 0\)
Do đó, hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x + 3m – 2 \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\) (*)
Mà \(a = 2 > 0,\Delta = {\left( { – 5} \right)^2} – 4.2.\left( {3m – 2} \right) = – 24m + 41\)
Do đó \((*) \Leftrightarrow – 24m + 41 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{41}}{{24}}\)
Vậy \(m \ge \frac{{41}}{{24}}\)