Tìm \(m\) để phương trình \( – {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m – 10 = 0\) có nghiệm
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),\Delta = {b^2} – 4ac\)
\(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
Hàm số \( – {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m – 10 = 0\) có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\begin{array}{l}a = – 1 \ne 0,b = m + 2,c = 2m – 10\\ \Rightarrow \Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} – 4\left( { – 1} \right)\left( {2m – 10} \right)\end{array}\)
+ Phương trình \(f\left( x \right) = – {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m – 10 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 12m – 36 \ge 0\)
+ Giải bất phương trình \({m^2} + 12m – 36 \ge 0\)
Tam thức bậc hai \({x^2} + 12x – 36\) có hai nghiệm \({x_1} = – 6 – 6\sqrt 2 ;{x_2} = – 6 + 6\sqrt 2 \) và có hệ số \(a = 1 > 0\)
Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \({x^2} + 12x – 36\) mang dấu “+” là \(\left( { – \infty ; – 6 – 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { – 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
Do đó tập nghiệm của BPT \({m^2} + 12m – 36 \ge 0\) là \(\left( { – \infty ; – 6 – 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { – 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
Vậy \(m \in \left( { – \infty ; – 6 – 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { – 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) thì phương trình trên có nghiệm