Bài 56 trang 89 SBT toán 10 Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x + 2)...

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x + 2)² + (y − 4)² = 25 và điểm A(-1; 3).

a) Xác định vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C)

b) Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn tại M và N. Viết phương trình đường thẳng d sao cho MN ngắn nhất

Bước 1: Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (C)

Bước 2: So sánh độ dài IA và bán kính R để xét vị trí tương đối của A với (C)

Bước 3: Áp dụng tính chất dây cung càng xa tâm có độ dài càng nhỏ để tìm GTLN của $d(I,d)$

Bước 4: Viết PTTQ của d với các yếu tố tìm được ở bước 3

a) (C) có tâm I(-2 ; 4) và bán kính R = 5

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = (1; - 1) \Rightarrow IA = \sqrt 2$

Có: $IA = \sqrt 2  < R \Rightarrow$ Điểm A nằm bên trong đường tròn (C)

b) Theo giả thiết, d cắt (C) tại 2 điểm M, N thỏa mãn MN ngắn nhất $\Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm I đến d lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của I trên d. Ta có: $IH \le IA$

$\Rightarrow$ IH đạt GTLN khi và chỉ khi H trùng với A

$\Rightarrow IA \bot d$ $\Rightarrow d$ nhận $\overrightarrow {IA}  = (1; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có PT: x – y + 4 = 0