Giải bài 8 trang 75 SBT toán 10 - Cánh diều - Bài 1. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180
Cho hình bình hành ABCD có AB=a,BC=b,AC=m,BD=n. Chứng minh m2+n2=2(a2+b2)
Bước 1: Sử dụng định lí cosin cho hai tam giác ∆ABC và ∆ADB để tính độ dài AC và BD
Bước 2: Xét mối liên hệ của các góc trong hình bình hành
Bước 3: Biến đổi các đẳng thức. Kết luận
Advertisements (Quảng cáo)
- Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:
AC2=AB2+BC2−2.AB.BC.cos^ABC⇔m2=a2+b2−2ab.cos^ABC (1)
- Áp dụng định lí cosin cho ∆ADB ta có:
BD2=AB2+AD2−2.AB.AD.cos^DAB⇔n2=a2+b2−2ab.cos^DAB (2)
Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC ⇒^ABC+^DAB=1800 ⇒cos^ABC=−cos^DAB (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: m2+n2=2(a2+b2)−2ab(cos^ABC+cos^DAB)⇔m2+n2=2(a2+b2) (ĐPCM)