Bài 8 trang 75 SBT toán 10 Cánh diều: Cho hình bình hành ABCD có (AB = a,BC = b,AC = m,BD = n). Chứng minh ({m...

Cho hình bình hành ABCD có $AB = a,BC = b,AC = m,BD = n$. Chứng minh ${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$

Bước 1: Sử dụng định lí cosin cho hai tam giác ∆ABC và ∆ADB để tính độ dài AC và BD

Bước 2: Xét mối liên hệ của các góc trong hình bình hành

Bước 3: Biến đổi các đẳng thức. Kết luận

- Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}$$\Leftrightarrow {m^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos \widehat {ABC}$     (1)

- Áp dụng định lí cosin cho ∆ADB ta có:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {DAB}$$\Leftrightarrow {n^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos \widehat {DAB}$      (2)

Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC $\Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {DAB} = {180^0}$ $\Rightarrow \cos \widehat {ABC} =  - \cos \widehat {DAB}$  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: ${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2}) - 2ab(\cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {DAB})$$\Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$ (ĐPCM)