Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 - Cánh Diều Bài 8 trang 75 SBT toán 10 Cánh diều: Cho hình bình...

Bài 8 trang 75 SBT toán 10 Cánh diều: Cho hình bình hành ABCD có (AB = a,BC = b,AC = m,BD = n). Chứng minh ({m...

Giải bài 8 trang 75 SBT toán 10 – Cánh diều – Bài 1. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Cho hình bình hành ABCD có \(AB = a,BC = b,AC = m,BD = n\). Chứng minh \({m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})\)

Bước 1: Sử dụng định lí cosin cho hai tam giác ∆ABC và ∆ADB để tính độ dài ACBD

Bước 2: Xét mối liên hệ của các góc trong hình bình hành

Bước 3: Biến đổi các đẳng thức. Kết luận

Advertisements (Quảng cáo)

– Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)\( \Leftrightarrow {m^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos \widehat {ABC}\)     (1)

– Áp dụng định lí cosin cho ∆ADB ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.\cos \widehat {DAB}\)\( \Leftrightarrow {n^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos \widehat {DAB}\)      (2)

Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC \( \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {DAB} = {180^0}\) \( \Rightarrow \cos \widehat {ABC} =  – \cos \widehat {DAB}\)  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \({m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2}) – 2ab(\cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {DAB})\)\( \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})\) (ĐPCM)