Bài 6 trang 81 SBT Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng: (frac{{tan A}}{{tan B}}...

Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng: $\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}$

Tam giác ABC không vuông nên $\tan A,\tan B,\tan C$ xác định

Áp dụng định lý sin và định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{a}{{2R}}:\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{abc}}{{4R.\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}\\\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{b}{{2R}}:\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{abc}}{{4R.\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{abc}}{{4R.\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}:\frac{{abc}}{{4R.\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}$ (dpcm)