Giải bài 4.69 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(2; - 1),\,\,B(5;3)$ và $C( - 2;9).$

a)      Tìm điểm $D$ thuộc trục hoành sao cho $B,\,\,C,\,\,D$ thẳng hàng.

b)     Tìm điểm $E$ thuộc trục hoành sao cho $EA + EB$ nhỏ nhất.

c)      Tìm điểm $F$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC}$ có độ dài ngắn nhất.

a) Vì điểm $D$ thuộc trục hoành nên tạo độ điểm $D$ là: $D(x;0)$

Ta có: $\overrightarrow {BD}  = (x - 5; - 3)$ và $\overrightarrow {CD}  = (x + 2; - 9)$

Để ba điểm $B,\,\,C,\,\,D$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng phương

$\Leftrightarrow$ $\frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{{x + 2}}{{ - 9}}$ $\Leftrightarrow$ $3x - 15 = x + 2$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{{17}}{2}$

Vậy $D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)$

b) Vì điểm $E$ thuộc trục hoành nên tọa độ điểm $E$ là: $E(x;0)$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: $EA + EB \ge AB$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $E$ là giao điểm của $AB$ với trục $Ox$

Ta có: $\overrightarrow {AE}  = (x - 2;1)$ và $\overrightarrow {AB}  = (3;4)$

Để $E \in AB$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {AE}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương

$\Leftrightarrow$ $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow$ $4x - 8 = 3$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{{11}}{4}$

Vậy $E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)$

c) Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ $\Rightarrow$ $G\left( {\frac{1}{3};\frac{{11}}{3}} \right)$

Vì điểm $F$ thuộc trục tung nên tọa độ điểm $F$ là: $F(0;y)$

Ta có: $\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC}  = 3\overrightarrow {FG}$

Để $\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {FG}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ $F$ là hình chiếu của $G$ trên trục $Oy$

$\Leftrightarrow$ $F\left( {0;\frac{{11}}{3}} \right)$