Giải bài 4.65 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = {90^ \circ },\,\,BC = 1,\,\,AB = 2$ và $AD = 3.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$

a)      Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {CM} ,\,\,\overrightarrow {CD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD} .$

b)     Gọi $N$ là trung điểm của $CD,\,\,G$ là trọng tâm tam giác $MCD$ và $I$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $9IC = 5ID.$ Chứng minh rằng $A,\,\,G,\,\,I$ thẳng hàng.

c)      Tính độ dài các đoạn thẳng $AI$ và $BI.$

a)      Ta có: $BC = 1$ và $AD = 3$

mặt khác $BC$//$AD$ vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$

Ta có: $\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$

Ta có: $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}$

 $\begin{array}{l} =  - \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \\ =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \\ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \end{array}$

b)     Ta có: $G$ là trọng tâm của $\Delta MCD$

$\Rightarrow$ $3\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow$ $6.3\overrightarrow {AG}  = 18\overrightarrow {AG}  = 9\overrightarrow {AB}  + 8\overrightarrow {AD}$           (1)

Ta có: $9IC = 5ID$

$\Rightarrow$ $9\overrightarrow {IC}  + 5\overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ $9\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AI} } \right) + 5\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ $14\overrightarrow {AI}  = 9\overrightarrow {AC}  + 5\overrightarrow {AD}$

$\Leftrightarrow$ $14\overrightarrow {AI}  = 9\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + 5\overrightarrow {AD}  = 9\overrightarrow {AB}  + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + 5\overrightarrow {AD}$

$\Leftrightarrow$ $14\overrightarrow {AI}  = 9\overrightarrow {AB}  + 8\overrightarrow {AD}$                            (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $18\overrightarrow {AG}  = 14\overrightarrow {AI}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {AG}$ và $\overrightarrow {AI}$ cùng hướng

$\Rightarrow$ ba điểm $A,\,\,G,\,\,I$ thẳng hàng.

c)      Ta có: $14\overrightarrow {AI}  = 9\overrightarrow {AB}  + 8\overrightarrow {AD}$ (cmt)

$\Rightarrow {\left( {14\overrightarrow {AI} } \right)^2} = {\left( {9\overrightarrow {AB}  + 8\overrightarrow {AD} } \right)^2} = 81{\overrightarrow {AB} ^2} + 144\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + 64{\overrightarrow {AD} ^2}$

$\Rightarrow 194A{I^2} = 81A{B^2} + 64A{D^2} = 81.4 + 64.9 = 900$

$\Rightarrow A{I^2} = \frac{{900}}{{196}}$

$\Rightarrow AI = \frac{{30}}{{14}} = \frac{{15}}{7}$

Ta có: $\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{4}{7}\overrightarrow {AD}  - \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow$ $B{I^2} = {\left( {\frac{4}{7}\overrightarrow {AD}  - \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} } \right)^2} = \frac{{16}}{{49}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{{20}}{{49}}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \frac{{25}}{{196}}{\overrightarrow {AB} ^2}$

$\Rightarrow$ $B{I^2} = \frac{{16}}{{49}}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{{25}}{{196}}{\overrightarrow {AB} ^2} = \frac{{16}}{{49}}.9 + \frac{{25}}{{196}}.4 = \frac{{169}}{{49}}$

$\Rightarrow$ $BI = \frac{{13}}{7}$