Giải bài 4.68 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 2;1),\,\,B(1;4)$ và $C(5; - 2).$

a) Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC.$

a)      Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (3;3)$ và $\overrightarrow {AC}  = (7; - 3)$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương

$\Rightarrow$ ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác

Xét $\Delta ABC$ có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow$ $G\left( {\frac{4}{3};1} \right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác là: $G\left( {\frac{4}{3};1} \right)$

b)     Gọi $H(x;y)$ là trực tâm của $\Delta ABC$

Ta có: $\overrightarrow {CH}  = (x - 5;y + 2)$ và $\overrightarrow {BH}  = (x - 1;y - 4)$

$\Rightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0}\\{7\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{7x - 3y =  - 5}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{5}}\\{y = \frac{{13}}{5}}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow$ $H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)$

Gọi $I(x’;y’)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = \left( {\frac{2}{5} - x’;\frac{{13}}{5} - y’} \right)$ và $\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{4}{3} - x’;1 - y’} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {\frac{2}{5} - x’;\frac{{13}}{5} - y’} \right) = 3\left( {\frac{4}{3} - x’;1 - y’} \right)$

$\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5} - x’ = 4 - 3x’}\\{\frac{{13}}{5} - y’ = 3 - 3y’}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x’ = \frac{{18}}{5}}\\{2y’ = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = \frac{9}{5}}\\{y’ = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow$ $I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)$

Vậy $H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)$ và $I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)$.