Giải bài 2.29 trang 28 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Giả sử một người ăn kiêng cần được cung cấp ít nhất 300 calo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C mỗi ngày từ hai loại đồ uống / và //. Mỗi cốc đồ uống / cung cấp 60 calo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C.

Mỗi cốc đồ uống // cung cấp 60 calo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C. Biết rằng một cốc đồ uống / có giá 12 nghìn đồng và một cốc đồ uống // có giá 15 nghìn đồng.

a) Gọi x và y tương ứng là số cốc đồ uống / và //. Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình và xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x cốc đồ uống / và y là số tiền phải trả cho y cốc đồ uống //. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Biết rằng F đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm tìm được ở câu a tại một trong các đỉnh của miền nghiệm, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Từ đó suy ra người đó cần uống bao nhiêu cốc loại / và loại // để chi phí là nhỏ nhất. mà vẫn đáp ứng được yêu cầu hằng ngày.

- Viết các bất phương trình của bài toán trên.

- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Viết biểu thức về số tiền phải trả cho 2 loại đồ uống.

- Tính giá trị nhỏ nhất về số tiền phải trả cho 2 loại đồ uống đo.

a) Gọi x và y tương ứng là số cốc đồ uống / và //.

Điều kiện: $x \ge 0;\,\,y \ge 0.$

Số calo cần cung cấp cho người ăn kiêng từ hai loại đồ uống / và // là: $60x + 60y \ge 300\,\, \Leftrightarrow \,\,x + y \ge 5.$

Số vitamin A cần cung cấp cho người ăn kiêng từ hai loại đồ uống / và // là: $12x + 6y \ge 36\,\, \Leftrightarrow \,\,2x + y \ge 6.$

Số vitamin C cần cung cấp cho người ăn kiêng từ hai loại đồ uống / và // là: $10x + 30y \ge 90\,\, \Leftrightarrow \,\,x + 3y \ge 9.$

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \ge 5}\\{2x + y \ge 6}\\{x + 3y \ge 9}\end{array}.} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $d:x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $\left( {1;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình ${d_1}:y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}$ chứa điểm $\left( {0;1} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \ge 5$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}:x + y = 5$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \ge 6$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:2x + y = 6$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y \ge 9$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_4}:x + 3y = 9$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \ge 5}\\{2x + y \ge 6}\\{x + 3y \ge 9}\end{array}} \right.$là miền không bị gạch với $A\left( {0;6} \right),\,\,B\left( {1;4} \right),\,\,C\left( {3;2} \right),\,\,D\left( {9;0} \right).$

b) Số tiền phải trả cho hai loại đồ uống / và // là: $F\left( {x;y} \right) = 12x + 15y$ (nghìn đồng).

c) Ta có: $F\left( {0;6} \right) = 12.0 + 15.6 = 90,\,\,F\left( {1;4} \right) = 12.1 + 15.4 = 72,$

$F\left( {3;2} \right) = 12.3 + 15.2 = 66,\,\,F\left( {9;0} \right) = 12.9 + 15.0 = 108.$

$\Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của $F$ là $F\left( {3;2} \right) = 66.$

Vậy người đó cần uống 3 cốc đồ uống loại / và 2 cốc đồ uống loại // để đáp úng yêu cầu đặt ra hàng ngày.