Giải bài 2.23 trang 26 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Tổng các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = x + 5y$ với $\left( {x;y} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 \le y \le 2}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}} \right.$ là:

A. $- 20.$

B. $-4.$

C. $28.$

D. $16.$

- Vẽ các bất phương trình trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

- Xác định miền nghiệm của bất phương trình trên.

- Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức dựa vào miền nghiệm vừa xác định được.

Miền nghiệm của bất phương trình $- 2 \le y \le 2$ là miền nằm giữa hai đường thẳng $d:y =  - 2$ và ${d_1}:y = 2$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}:x + y = 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $y - x \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:y - x = 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình thang cân $ABCD$ với $A\left( { - 2;2} \right),$ $B\left( {2;2} \right),$ $C\left( {6; - 2} \right),$ $D\left( { - 6; - 2} \right).$

Ta có: $F\left( { - 2;2} \right) =  - 2 + 5.2 = 8,\,\,F\left( {2;2} \right) = 2 + 5.2 = 12,$

$F\left( {6; - 2} \right) = 6 + 5\left( { - 2} \right) =  - 4,\,\,F\left( { - 6; - 2} \right) =  - 6 + 5\left( { - 2} \right) =  - 16.$

$\Rightarrow$ giá trị lớn nhất của $F$ là: $F\left( {2;2} \right) = 12,$ giá trị nhỏ nhất của $F$ là: $F\left( { - 6; - 2} \right) =  - 16.$

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $F$ là: $12 + \left( { - 16} \right) =  - 4.$

Chọn B.