Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 1,\,\,a = 2,\,\,\widehat B = {120^ \circ }.\)
a) Tính \(b,\,\,\widehat A,\,\,\widehat C.\)
b) Tính diện tích của tam giác
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác
- Áp dụng định lý cosin để tính \(b\): \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\)
- Áp dụng định lý sin để tính \(\widehat A,\,\,\widehat C\): \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}.\)
- Tính diện tích \(\Delta ABC\): \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)
Advertisements (Quảng cáo)
- Độ dài đường cao \({h_b}\): \(S = \frac{1}{2}b.{h_b}\)
a) Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 4 + 1 - 2.2.1.\cos {120^ \circ } = 7\\ \Rightarrow \,\,b = \sqrt 7 .\end{array}\)
Áp dụng định lý sin, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}}\\{\frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin A = \frac{{a.\sin B}}{b} = \frac{{2.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}}\\{\sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{1.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{41}^ \circ }}\\{\widehat C \approx {{19}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
b) Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2.1.\sin {120^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
c) Độ dài đường cao kẻ từ \(B\) của \(\Delta ABC\) là: \({h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)