Giải bài 3.41 trang 44 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho tam giác $ABC$ có $c = 1,\,\,a = 2,\,\,\widehat B = {120^ \circ }.$

a) Tính $b,\,\,\widehat A,\,\,\widehat C.$

b) Tính diện tích của tam giác

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ $B$ của tam giác

-  Áp dụng định lý cosin để tính $b$: ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B$

-  Áp dụng định lý sin để tính $\widehat A,\,\,\widehat C$: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}.$

- Tính diện tích $\Delta ABC$: $S = \frac{1}{2}ac.\sin B$

- Độ dài đường cao ${h_b}$: $S = \frac{1}{2}b.{h_b}$

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l}{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 4 + 1 - 2.2.1.\cos {120^ \circ } = 7\\ \Rightarrow \,\,b = \sqrt 7 .\end{array}$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}}\\{\frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin A = \frac{{a.\sin B}}{b} = \frac{{2.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}}\\{\sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{1.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{41}^ \circ }}\\{\widehat C \approx {{19}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

b) Diện tích $\Delta ABC$ là: $S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2.1.\sin {120^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

c) Độ dài đường cao kẻ từ $B$ của $\Delta ABC$ là: ${h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.$