Giải bài 4.24 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M( - 2;1)$ và $N(4;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $P$ thuộc $Ox$ sao cho $PM = PN.$

b) Tìm tọa độ của điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow {MQ}  = 2\overrightarrow {PN} .$

c) Tìm tọa độ của điểm $R$ thỏa mãn $\overrightarrow {RM}  + 2\overrightarrow {RN}  = \overrightarrow 0 .$ Từ đó suy ra $P,\,\,Q,\,\,R$ thẳng hàng.

a)  Vì điểm $P$ thuộc $Ox$ nên tọa độ điểm $P$ là: $P(x;0)$

Ta có: $PM = PN\,\, \Leftrightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {PM} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|$

        $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 5} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{x^2} + 4x + 4 + 1}  = \sqrt {{x^2} - 8x + 16 + 25} \\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} + 4x + 5 = {x^2} - 8x + 41\\ \Leftrightarrow \,\,12x = 36\,\, \Leftrightarrow \,\,x = 3\end{array}$

Vậy $P(3;0)$

b) Gọi tọa độ điểm $Q$ là: $Q(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow {MQ}  = 2\overrightarrow {PN} \,\, \Leftrightarrow \,\,(x + 2;y - 1) = 2(4 - 3;5 - 0)$

 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 2;y - 1} \right) = (2;10)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 2}\\{y - 1 = 10}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 11}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

Vậy $Q(0;11)$

c) Gọi tọa độ điểm $R$ là: $R(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow {RM}  + 2\overrightarrow {RN}  = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( { - 2 - x;1 - y} \right) + 2\left( {4 - x;5 - y} \right) = \left( {0;0} \right)$

 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( { - 2 - x;1 - y} \right) + \left( {8 - 2x;10 - 2y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {6 - 3x;11 - 3y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 3x = 0}\\{11 - 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

Vậy $R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 3;11} \right),\,\,\overrightarrow {PR}  = \left( { - 1;\frac{{11}}{3}} \right)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow {PQ}$ và $\overrightarrow {PR}$ cùng phương

$\Rightarrow$ $P,\,\,Q,\,\,R$ thẳng hàng