Giải bài 4.26 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $C(1;6)$ và $D(11;2).$

a)      Tìm tọa độ của điểm $E$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}$ có độ dài ngắn nhất.

b)     Tìm tọa độ của điểm $F$ thuộc trục hoành sao cho $\left| {2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

c)      Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.$

a)      Vì điểm $E$ thuộc trục tung nên tọa độ điểm $E$ là: $E(0;y).$

Ta có: $\overrightarrow {EC}  = (1;6 - y)$ và $\overrightarrow {ED}  = (11;2 - y).$

Khi đó: $\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = (1;6 - y) + (11;2 - y) = (12;8 - 2y)$

$\Rightarrow$ $\left| {\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED} } \right| = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {8 - 2y} \right)}^2}}  = \sqrt {4{{\left( {y - 4} \right)}^2} + 144}$

Do $4{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y = 4,$ nên $\left| {\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED} } \right| \ge 12,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y = 4.$

Vậy $E(0;4)$ thì $\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}$ có độ dài ngắn nhất.

b)     Vì điểm $F$ thuộc trục hoành nên tọa độ điểm $F$ là $F(x;0).$

Ta có: $\overrightarrow {FC}  = (1 - x;6)$ và $\overrightarrow {FD}  = (11 - x;2).$

Khi đó: $2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD}  = 2(1 - x;6) + 3(11 - x;2) = (35 - 5x;18).$

$\Rightarrow$ $\left| {2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD} } \right| = \sqrt {{{\left( {35 - 5x} \right)}^2} + {{18}^2}}  = \sqrt {25{{\left( {x - 7} \right)}^2} + {{18}^2}}$

Do $25{\left( {x - 7} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 7,$ nên $\left| {2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD} } \right| \ge 18,$ đẳng thức xảy ra khi vào chỉ khi $x = 7.$

Vậy $F(7;0)$ thì $\left| {2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

c)      Ta có: $CD = \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{\left( {11 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 6} \right)}^2}}  = 2\sqrt {29}$

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ nên $I(6;4)$

Ta có: $\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MI}$

Khi đó: $\left| {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = CD = 2\sqrt {29} \,\, \Leftrightarrow \,\,2MI = 2\sqrt {29} \,\, \Leftrightarrow \,\,MI = \sqrt {29}$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $MI = \sqrt {29}$