Giải bài 4.28 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Để kéo đường dây điện bằng qua một hồ hình chữ nhật $ABCD$ với độ dài $AB = 200\,\,m,\,\,AD = 180\,\,m,$ người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm bên trên bờ $AB$ và cách đỉnh $A$ khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ $CD$ và cách đỉnh $C$ khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ $AB,\,\,AD.$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $A(0;0),\,\,B(200;0),\,\,C(200;180),\,\,D(0;180).$

Gọi vị trí các cột điện là: ${C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,\,{C_4}.$

Ta có: $A{C_1} = 20\,\,m$ nên ${C_1}(20;0)$ và $C{C_4} = 30\,\,m$ nên ${C_4}(170;180).$

Do bốn cột điện ${C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,\,{C_4}$ được trồng liên tiếp đều nhau nên $\overrightarrow {{C_1}{C_2}}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}}$ và $\overrightarrow {{C_1}{C_4}}  = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}}$

Gọi tọa độ điểm ${C_2}(x;y)$ và ${C_3}(x’;y’)$

Ta có: $\overrightarrow {{C_1}{C_2}}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \,\, \Leftrightarrow \,\,(x - 20;y) = \frac{1}{3}\left( {150;180} \right)$

   $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,(x - 20;y) = \left( {50;60} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 20 = 50}\\{y = 60}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 70}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

$\Rightarrow \,\,{C_2}(70;60)$

$\Rightarrow \,\,d\left( {{C_1};AB} \right) = d\left( {{C_1};Ox} \right) = 70$ và $d\left( {{C_1};AD} \right) = d\left( {{C_1};Oy} \right) = 60.$

Ta có: $\overrightarrow {{C_1}{C_4}}  = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {150;180} \right) = 3\left( {170 - x’;180 - y’} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {150;180} \right) = \left( {510 - 3x’;540 - 3y’} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{510 - 3x’ = 150}\\{540 - y’ = 180}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = 120}\\{y’ = 120}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$ ${C_3}(120;120)$

$\Rightarrow$ $d\left( {{C_3};AB} \right) = d\left( {{C_3};Ox} \right) = 120$ và $d\left( {{C_3};AD} \right) = d\left( {{C_3};Oy} \right) = 120$