Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M( – 2;1)\) và \(N(4;5).\)
a) Tìm tọa độ của điểm \(P\) thuộc \(Ox\) sao cho \(PM = PN.\)
b) Tìm tọa độ của điểm \(Q\) sao cho \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\)
c) Tìm tọa độ của điểm \(R\) thỏa mãn \(\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 .\) Từ đó suy ra \(P,\,\,Q,\,\,R\) thẳng hàng.
a) Vì điểm \(P\) thuộc \(Ox\) nên tọa độ điểm \(P\) là: \(P(x;0)\)
Ta có: \(PM = PN\,\, \Leftrightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {PM} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {{\left( {0 – 5} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{x^2} + 4x + 4 + 1} = \sqrt {{x^2} – 8x + 16 + 25} \\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} + 4x + 5 = {x^2} – 8x + 41\\ \Leftrightarrow \,\,12x = 36\,\, \Leftrightarrow \,\,x = 3\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(P(3;0)\)
b) Gọi tọa độ điểm \(Q\) là: \(Q(x;y)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} \,\, \Leftrightarrow \,\,(x + 2;y – 1) = 2(4 – 3;5 – 0)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 2;y – 1} \right) = (2;10)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 2}\\{y – 1 = 10}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 11}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Vậy \(Q(0;11)\)
c) Gọi tọa độ điểm \(R\) là: \(R(x;y)\)
Ta có: \(\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( { – 2 – x;1 – y} \right) + 2\left( {4 – x;5 – y} \right) = \left( {0;0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( { – 2 – x;1 – y} \right) + \left( {8 – 2x;10 – 2y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {6 – 3x;11 – 3y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 – 3x = 0}\\{11 – 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Vậy \(R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { – 3;11} \right),\,\,\overrightarrow {PR} = \left( { – 1;\frac{{11}}{3}} \right)\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {PR} \) cùng phương
\( \Rightarrow \) \(P,\,\,Q,\,\,R\) thẳng hàng