Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 - Kết nối tri thức Giải bài 4.33 trang 65 sách bài tập toán 10 – Kết...

Giải bài 4.33 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Giải bài 4.33 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống - Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ : Cho tam giác \(ABC\) không cân. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C;\) gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

Question - Câu hỏi/Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) không cân. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C;\) gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

-  Gọi \(H\) là trực tâm và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

-   Áp dụng định lý chiếu để tính tích vô hướng của các  vectơ sau \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} ,\) \(\overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} \)

Answer - Lời giải/Đáp án

Advertisements (Quảng cáo)

Gọi \(H\) là trực tâm và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

Ta có: \(ON \bot AC,\) \(OM \bot BC,\) \(OP \bot AB\) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý chiếu ta có:

\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} \)     (1)

\(\overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC} } \right) = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} \)       (2)

\(\overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right) = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} \)        (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = 0\) (đpcm)