Giải bài 4.34 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(2;1)$ và $B(4;3).$

a) Tìm tọa độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC.$

b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tam giác $ABD$ vuông cân tại $A.$

-  Tính các các vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ xong tính tích vô hướng của chúng để tìm tọa độ điểm $C.$

-  Tính chu vi và diện tích tam giác $ABC.$

-  Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.$ để tìm tọa độ điểm $D.$

a)      Vì điểm $C$ thuộc trục hoành nên tọa độ điểm $C$ là: $C(x;0)$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (2;2)$ và $\overrightarrow {AC}  = (x - 2; - 1)$

Để tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$

$\Leftrightarrow$ $2\left( {x - 2} \right) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow$ $2x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow$ $x = 3$

Vậy $C(3;0).$

Ta có: $AB = 2\sqrt 2 ,$ $AC = \sqrt 2$ và $BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {10}$

Chu vi tam giác $ABC$ là: $AB + AC + BC = 2\sqrt 2  + \sqrt 2  + \sqrt {10}  = 3\sqrt 2  + \sqrt {10}$

Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2$ (đvdt)

b)     Gọi tọa độ điểm $D$ là: $D(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow {AD}  = (x - 2;y - 1)$ và $\overrightarrow {AB}  = (2;2)$

Để tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$

$\Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 - x}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - x - 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 - x}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} = 4}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 - x}\\{x - 2 =  \pm 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

Vậy $D(0;3)$ hoặc $D(4; - 1)$