Giải bài 4.56 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho tam giác $ABC$ đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy $M,\,\,N,\,\,P$ tương ứng thuộc các cạnh $BC,\,\,CA,\,\,AB$ sao cho $BM = 2MC,\,\,CN = 2NA$ và $AM \bot NP.$ Tỉ số của $\frac{{AP}}{{AB}}$ bằng

A. $\frac{5}{{12}}$

B. $\frac{7}{{12}}$

C. $\frac{5}{7}$

D. $\frac{7}{5}$

-  Đặt $AP = x$ $\left( {0 < x < 1} \right)$

-  Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {PN}$ và $\overrightarrow {AM}$ theo các vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$

-  Tìm x dựa vào tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN}  = 0$

Đặt $AP = x$ $\left( {0 < x < 1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB}$

Ta có: $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$

Ta có: $AM \bot PN$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN}  = 0$

$\Leftrightarrow$ $\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{x}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{9}.\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{{2x}}{3}.\frac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{{18}} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{x}{3} = 0$

$\Leftrightarrow$ $1 - 6x + 4 - 6x = 0$

$\Leftrightarrow$ $12x = 5$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{5}{{12}}$

Vậy $\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}$

Chọn A.