Giải bài 4.57 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho tam giác $ABC$ đều có độ dài cạnh bằng $3a$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC.$ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {MC}$ bằng

A. $\frac{{{a^2}}}{2}$

B. $- \frac{{{a^2}}}{2}$

C. ${a^2}$

D. $- {a^2}$

Ta có: $\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {MC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)$

$\begin{array}{l} =  - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ =  - \frac{1}{9}.9{a^2} + \frac{2}{9}.9{a^2} - \frac{1}{9}.9{a^2}.\cos {60^ \circ }\\ =  - {a^2} + 2{a^2} - {a^2}.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}$

Chọn A.