Cho tứ giác lồi ABCD,ABCD, không có hai cạnh nào song song. Gọi E,FE,F theo thứ tự là trung điểm của AB,CD.AB,CD. Gọi K,L,M,NK,L,M,N lần lượt là trung điểm của AF,CE,BF,DE.AF,CE,BF,DE.
a) Chứng minh rằng tứ giác KLMNKLMN là một hình bình hành.
b) Gọi II là giao điểm của KM,LN.KM,LN. Chứng minh rằng E,I,FE,I,F thẳng hàng.
a) Ta có: →AE+→FC=(→AK+→KL+→LE)+(→FK+→KL+→LC)−−→AE+−−→FC=(−−→AK+−−→KL+−−→LE)+(−−→FK+−−→KL+−−→LC)
=2→KL+(→AK+→FK)+(→LE+→LC)=2−−→KL+(−−→AK+−−→FK)+(−−→LE+−−→LC)
=2→KL=2−−→KL (1)
Ta có: →EB+→DF=(→EN+→NM+→MB)+(→DN+→NM+→MF)−−→EB+−−→DF=(−−→EN+−−−→NM+−−→MB)+(−−→DN+−−−→NM+−−→MF)
Advertisements (Quảng cáo)
=2→NM+(→EN+→DN)+(→MB+→MF)=2−−−→NM+(−−→EN+−−→DN)+(−−→MB+−−→MF)
=2→NM=2−−−→NM (2)
Ta có: →AE+→FC=→EB+→DF−−→AE+−−→FC=−−→EB+−−→DF (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒⇒ →KL=→NM−−→KL=−−−→NM
⇒⇒ tứ giác MNKLMNKL là hình bình hành.
b) Gọi II là giao điểm của KM,LN.KM,LN.
Ta có: →EI=12(→EN+→EL)=12(12→ED+12→EC)−→EI=12(−−→EN+−−→EL)=12(12−−→ED+12−−→EC)
=14(→ED+→EC)=14.2→EF=12→EF
⇒ →EI và →EF cùng hướng
⇒ ba điểm E,I,F thẳng hàng