Bài 4.64 trang 70 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức: Cho tứ giác lồi (ABCD,) không có hai cạnh nào song song. Gọi (E,,,F) theo thứ...

Cho tứ giác lồi $ABCD,$ không có hai cạnh nào song song. Gọi $E,\,\,F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,\,\,CD.$ Gọi $K,\,\,L,\,\,M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AF,\,\,CE,\,\,BF,\,\,DE.$

a) Chứng minh rằng tứ giác $KLMN$ là một hình bình hành.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $KM,\,\,LN.$ Chứng minh rằng $E,\,\,I,\,\,F$ thẳng hàng.

a)      Ta có: $\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {FC}  = \left( {\overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {KL}  + \overrightarrow {LE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FK}  + \overrightarrow {KL}  + \overrightarrow {LC} } \right)$

$= 2\overrightarrow {KL}  + \left( {\overrightarrow {AK}  + \overrightarrow {FK} } \right) + \left( {\overrightarrow {LE}  + \overrightarrow {LC} } \right)$

$= 2\overrightarrow {KL}$  (1)

Ta có: $\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {DF}  = \left( {\overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MF} } \right)$

$= 2\overrightarrow {NM}  + \left( {\overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {DN} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MF} } \right)$

$= 2\overrightarrow {NM}$  (2)

Ta có: $\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {FC}  = \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {DF}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $\overrightarrow {KL}  = \overrightarrow {NM}$

$\Rightarrow$ tứ giác $MNKL$ là hình bình hành.

b)  Gọi $I$ là giao điểm của $KM,\,\,LN.$

Ta có: $\overrightarrow {EI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {EL} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {ED}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} } \right)$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{4}.2\overrightarrow {EF} \\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} \end{array}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {EI}$ và $\overrightarrow {EF}$ cùng hướng

$\Rightarrow$ ba điểm $E,\,\,I,\,\,F$ thẳng hàng