Bài 4.66 trang 71 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức: Cho bốn điểm (A,,,B,,,C,,,D) trong mặt phẳng. Chứng minh rằng...

Cho bốn điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}$

$\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC}$

$\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}$

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  + {\overrightarrow {BC} ^2} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {BC} ^2} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}$

$= \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {{{\overrightarrow {BC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} } \right) = 0$

$\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = 0$ (đpcm)