Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :2x – y + 5 = 0\). Tìm tất cả vector pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt 5 \) của đường thẳng \(\Delta \)
+ Vector pháp tuyến của đường thẳng tổng quát: \(ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\)
+ Độ dài vetor \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Vecto pháp tuyến của đường thẳng tổng quát: \(\Delta :2x – y + 5 = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {2t; – t} \right)\)
+ Độ dài vecto \(\overrightarrow n = \left( {2t; – t} \right)\) là \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {4{t^2} + {t^2}} = \sqrt {5{t^2}} = \left| t \right|\sqrt 5 = 2\sqrt 5 \Rightarrow \left| t \right| = 2 \Rightarrow t = \pm 2\)
Vậy các vecto phải tìm là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; – 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { – 4;2} \right)\)