Cho elip (E) : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(\Delta \) thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn \(25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}\). Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm \({F_1}\), \({F_2}\) của (E) đến đường thẳng \(\Delta \)
Gợi ý làm bài
\((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)
Ta có:
\({a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\)
\( \Rightarrow c = 4.\)
Vậy (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\). Ta có :
Advertisements (Quảng cáo)
\({d_1} = d({F_1},\Delta ) = {{\left| { - 4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)
\({d_2} = d({F_2},\Delta ) = {{\left| {4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)
Suy ra:
\({d_1}{d_2} = {{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}}.\,\,\,(1)\)
Thay \({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}\) vào (1) ta được :
\(\eqalign{
& {d_1}{d_2} = {{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr
& = {{9({A^2} + {B^2})} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr} \)
Vậy \({d_1}{d_2} = 9.\)