Bài 3.44 trang 161 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho elip (E)...

Cho elip (E) : ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$ và đường thẳng  $\Delta$ thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn $25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}$. Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm  ${F_1}$, ${F_2}$ của (E) đến đường thẳng $\Delta$

Gợi ý làm bài

$(E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$

Ta có:

${a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16$

$\Rightarrow c = 4.$

Vậy (E) có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ và ${F_2}\left( {4;0} \right)$. Ta có : 

${d_1} = d({F_1},\Delta ) = {{\left| { - 4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$

${d_2} = d({F_2},\Delta ) = {{\left| {4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$

Suy ra: 

${d_1}{d_2} = {{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}}.\,\,\,(1)$

Thay ${C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}$ vào (1) ta được : 

$\eqalign{ & {d_1}{d_2} = {{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr & = {{9({A^2} + {B^2})} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr}$

Vậy ${d_1}{d_2} = 9.$