Bài 3.45 trang 161 SBT Toán Hình học 10: Cho elip (E)...

Cho elip (E): ${x^2} + 4{y^2} = 16$.

a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {1;{1 \over 2}} \right)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (1;2)$

c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng $\Delta$ và elip (E). Chứng minh MA = MB.

Gợi ý làm bài

a) $\eqalign{ & (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1. \cr}$

Ta có:

$\eqalign{ & {a^2} = 16,{b^2} = 4 \cr & \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 12 \cr}$

$\Rightarrow c = 2\sqrt 3 .$

Vậy (E) có hai tiêu điểm: ${F_1}\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right)$ và ${F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)$

và các đỉnh ${A_1}\left( { - 4;0} \right)$, ${A_2}\left( {4;0} \right)$, ${B_1}\left( {0; - 2} \right)$, ${B_2}\left( {0;2} \right)$

b) Phương trình $\Delta$  có dạng : 

$1.(x - 1) + 2.(y - {1 \over 2}) = 0$

hay $x + 2y - 2 = 0$

c) Tọa độ của giao điểm của $\Delta$ và (E) là nghiệm của hệ : 

$\left\{ \matrix{ {x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr x = 2 - 2y.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.$

Thay (2) vào (1) ta được : 

${\left( {2 - y} \right)^2} + 4{y^2} = 16$

$\Leftrightarrow {(1 - y)^2} + {y^2} = 4$

$\Leftrightarrow 2{y^2} - 2y - 3 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Phương trình (3) có hai nghiệm ${y_A}$, ${y_B}$ thỏa mãn

${{{y_A} + {y_B}} \over 2} = {2 \over 4} = {1 \over 2} = {y_M}.$

 Vậy MA = MB.

Ta có: ${y_A} = {{1 - \sqrt 7 } \over 2}$, ${y_B} = {{1 + \sqrt 7 } \over 2}$

${x_A} = 1 + \sqrt 7$, ${x_B} = 1 - \sqrt 7$

Vậy A có tọa độ là $\left( {1 + \sqrt 7 ;{{1 - \sqrt 7 } \over 2}} \right)$, B có tọa độ là $\left( {1 - \sqrt 7 ;{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right).$