Advertisements (Quảng cáo)
Cho elip (E): \({x^2} + 4{y^2} = 16\).
a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).
b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;{1 \over 2}} \right)\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2)\)
c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng \(\Delta \) và elip (E). Chứng minh MA = MB.
Gợi ý làm bài
a) \(\eqalign{
& (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1. \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {a^2} = 16,{b^2} = 4 \cr
& \Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = 12 \cr} \)
\( \Rightarrow c = 2\sqrt 3 .\)
Vậy (E) có hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { – 2\sqrt 3 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)\)
và các đỉnh \({A_1}\left( { – 4;0} \right)\), \({A_2}\left( {4;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; – 2} \right)\), \({B_2}\left( {0;2} \right)\)
b) Phương trình \(\Delta \) có dạng :
\(1.(x – 1) + 2.(y – {1 \over 2}) = 0\)
hay \(x + 2y – 2 = 0\)
c) Tọa độ của giao điểm của \(\Delta \) và (E) là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
x = 2 – 2y.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
Thay (2) vào (1) ta được :
\({\left( {2 – y} \right)^2} + 4{y^2} = 16\)
\( \Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {y^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow 2{y^2} – 2y – 3 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)
Phương trình (3) có hai nghiệm \({y_A}\), \({y_B}\) thỏa mãn
\({{{y_A} + {y_B}} \over 2} = {2 \over 4} = {1 \over 2} = {y_M}.\)
Vậy MA = MB.
Ta có: \({y_A} = {{1 – \sqrt 7 } \over 2}\), \({y_B} = {{1 + \sqrt 7 } \over 2}\)
\({x_A} = 1 + \sqrt 7 \), \({x_B} = 1 – \sqrt 7 \)
Vậy A có tọa độ là \(\left( {1 + \sqrt 7 ;{{1 – \sqrt 7 } \over 2}} \right)\), B có tọa độ là \(\left( {1 – \sqrt 7 ;{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right).\)