Bài 35 trang 197 SBT môn Toán Đại số 10: Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ...

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ thuộc $\alpha$

a) $A = 2({\sin ^6}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) - 3({\sin ^4}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )$

b) $A = 4({\sin ^4}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) - c{\rm{os4}}\alpha$

c) $C = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^8}\alpha  - {\sin ^8}\alpha ) - \cos 6\alpha  - 7\cos 2\alpha$

Gợi ý làm bài

a) $A = 2({\sin ^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({\sin ^4}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha  - {\sin ^2}\alpha co{s^2}\alpha ) - 3({\sin ^4}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )$

= $- {\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  - 2{\sin ^2}{\cos ^2}\alpha$

= $- {({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha )^2} =  - 1$

b) $A = 4{\rm{[}}{({\sin ^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{]}} - c{\rm{os4}}\alpha$

= $4\left( {1 - {1 \over 2}{{\sin }^2}2\alpha } \right) - 1 + 2{\sin ^2}2\alpha  = 3$

c) $C = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha  - {\sin ^4}\alpha )(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha  + {\sin ^4}\alpha ) - \cos 6\alpha  - 7\cos 2\alpha$

$= 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha )(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha ){\rm{[}}{(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{]}} - \cos 6\alpha  - 7\cos 2\alpha$

$= 8c{\rm{os}}2\alpha \left( {1 - {1 \over 2}si{n^2}2\alpha } \right) - c{\rm{os6}}\alpha {\rm{ - 7cos2}}\alpha$

$= c{\rm{os}}2\alpha  - 4\cos 2\alpha si{n^2}2\alpha  - c{\rm{os(4}}\alpha  + {\rm{2}}\alpha )$

$= c{\rm{os}}2\alpha  - 2\sin 4\alpha sin2\alpha  - c{\rm{os4}}\alpha c{\rm{os2}}\alpha  + \sin 4\alpha sin2\alpha$

$= c{\rm{os}}2\alpha  - (\cos 4\alpha \cos 2\alpha  + \sin {\rm{4}}\alpha \sin {\rm{2}}\alpha )$

$= \cos 2\alpha  - c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ = 0}}$