Bài 36 trang 197 Sách bài tập Toán Đại số 10: Rút gọn các biểu thức...

Rút gọn các biểu thức

a) ${{\tan 2\alpha } \over {\tan 4\alpha  - \tan 2\alpha }}$

b) $\sqrt {1 + \sin \alpha }  - \sqrt {1 - \sin \alpha }$ với $0 < \alpha  < {\pi  \over 2}$

c) ${{3 - 4\cos 2\alpha  + c{\rm{os4}}\alpha } \over {3 + 4\cos 2\alpha  + \cos 4\alpha }}$

d) ${{\sin \alpha  + \sin 3\alpha  + \sin 5\alpha } \over {\cos \alpha  + \cos 3\alpha  + c{\rm{os5}}\alpha }}$

Gợi ý làm bài

a) 

$\eqalign{ & {{\tan 2\alpha } \over {\tan 4\alpha - \tan 2\alpha }} = {{\tan 2\alpha } \over {{{2\tan 2\alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }} - \tan 2\alpha }} \cr & = {{1 - {{\tan }^2}2\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}2\alpha }} = \cos 4\alpha \cr}$

b) 

$\eqalign{ & \sqrt {1 + \sin \alpha } - \sqrt {1 - \sin \alpha } \cr & = \sqrt {{{\left( {cos{\alpha \over 2} + sin{\alpha \over 2}} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {cos{\alpha \over 2} - sin{\alpha \over 2}} \right)}^2}} \cr}$

Vì $0 < \alpha  < {\pi  \over 2}$ nên $0 < {\alpha  \over 2} < {\pi  \over 4}$

Suy ra $0 < \sin {\alpha  \over 2} < \cos {\alpha  \over 2}$

Vậy $\sqrt {1 + \sin \alpha }  - \sqrt {1 - \sin \alpha }  = cos{\alpha  \over 2} + sin{\alpha  \over 2} - (cos{\alpha  \over 2} - sin{\alpha  \over 2})$

$= 2sin{\alpha  \over 2}$

c) ${{3 - 4\cos 2\alpha  + c{\rm{os4}}\alpha } \over {3 + 4\cos 2\alpha  + \cos 4\alpha }} = {{3 - 4\cos 2\alpha  + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha  - 1} \over {3 + 4\cos 2\alpha  + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha  - 1}}$

$= {{2(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha  - 2\cos 2\alpha  + 1)} \over {2(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha  + 2\cos 2\alpha  + 1)}}$

$= {{{{(\cos 2\alpha  - 1)}^2}} \over {{{(\cos 2\alpha  + 1)}^2}}} = {{{{( - 2{{\sin }^2}\alpha )}^2}} \over {{{(2{{\cos }^2}\alpha )}^2}}} = {\tan ^4}\alpha$

d) 

$\eqalign{ & {{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha } \over {\cos \alpha + \cos 3\alpha + c{\rm{os5}}\alpha }} \cr & = {{(\sin 5\alpha + \sin \alpha ) + \sin 3\alpha } \over {(\cos 5\alpha + \cos \alpha ) + c{\rm{os3}}\alpha }} \cr}$

$= {{\sin 3\alpha (2\cos 2\alpha  + 1)} \over {c{\rm{os3}}\alpha (2\cos 2\alpha  + 1)}} = \tan 3\alpha$