Bài 9 trang 69 Sách bài tập Toán Đại số 10: Cho phương trình bậc hai với tham số m...

Cho phương trình bậc hai với tham số m

$3{x^2} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0$

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:

$\Delta ‘ = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16$

Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện ${m^2} - 7m + 16 > 0$ tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai ${m^2} - 7m + 16 > 0$ với mọi m. Xem §5 chương IV).

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện ${x_1} = 3{x_2}$

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có

${x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m - 5} \over 3}$

Từ đó suy ra:

${x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m - 5} \over 3}$

Khử ${x_2}$ ta được phương trình bậc hai đối với m:

${m^2} - 10m + 21 = 0$

Phương trình cuối có hai nghiệm ${m_1} = 7,{m_2} = 3$

+ Với m = 7 ta được ${x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4$

+ Với m = 7 ta được ${x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2$