Advertisements (Quảng cáo)
Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau
a) \(|3x + 2m| = x – m\)
b) \(|2x + m| = |x – 2m + 2|\)
c) \(m{x^2} + (2m – 1)x + m – 2 = 0\)
d) \({{\sqrt {4x – 2} } \over {2x – 1}} = m – 1\)
Gợi ý làm bài
a) Với \(x \ge – {{2m} \over 3}\) phương trình đã cho trở thành
\(3x + 2m = x – m \Leftrightarrow 2x = – 3m \Leftrightarrow x = – {{3m} \over 2}\)
Ta có:
\( – {{3m} \over 2} \ge – {{2m} \over 3} \Leftrightarrow – 9m \ge – 4m\)
\( \Leftrightarrow 5m \le 0 \Leftrightarrow m \le 0\)
Với \(x < – {{2m} \over 3}\) Phương trình đã cho trở thành
\( – 3x – 2m = x – m \Leftrightarrow 4x = – m \Leftrightarrow x = – {m \over 4}\)
Ta có:
\( – {m \over 4} \ge – {{2m} \over 3} \Leftrightarrow – 3m \ge – 8m\)
\( \Leftrightarrow 5m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)
Kết luận
Với m > 0 phương trình vô nghiệm;
Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;
Với m < 0 phương trình có nghiệm \({x_1} = – {{3m} \over 2}\) và \({x_2} = – {m \over 4}\)
b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x – 2m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x + m = x – 2m + 2(1) \hfill \cr 2x + m = – x + 2m – 2(2) \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = – 3m + 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình (2) \( \Leftrightarrow 3x = m – 2 \Leftrightarrow x = {{m – 2} \over 3}\)
Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:
\({x_1} = – 3m + 2$$ và $${x_2} = {{m – 2} \over 3}\)
c) m = 0 phương trình trở thành
\( – x – 2 = 0 = > x = – 2\)
\(m \ne 0\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có \(\Delta = 4m + 1\)
Với \(m < – {1 \over 4}\) phương trình vô nghiệm;
Với \(m \ge – {1 \over 4}\) nghiệm của phương trình là
\({x_{1,2}} = {{1 – 2m \pm \sqrt {4m + 1} } \over {2m}}\)
d) Điều kiện của phương trình là \(m > {1 \over 2}\)
Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:
\({{\sqrt {4x – 2} } \over {2x – 1}} = m – 1 \Leftrightarrow \sqrt {2(2x – 1)} = (m – 1)(2x – 1)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {(2x – 1)} {\rm{[}}\sqrt 2 – (m – 1)\sqrt {2x – 1} {\rm{]}} = 0\)
\( \Leftrightarrow (m – 1)\sqrt {2x – 1} = \sqrt 2\)
\( \Leftrightarrow {(m – 1)^2}(2x – 1) = 2\)
\( \Leftrightarrow x = {{{{(m – 1)}^2} + 2} \over {2{{(m – 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m – 1)}^2}}}\)
Giá trị \(x = {1 \over 2} + {1 \over {(m – 1){}^2}}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\)
Kết luận. Với \(m \le 1\) phương trình vô nghiệm.
Với m > 1 nghiệm của phương trình là \(x = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m – 1)}^2}}}\)