Bài 5 trang 80 Toán 10 tập 2 – Cánh diều: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(-1;- 1), C(5 - 3). Lập phương trình tổng quát của:...

Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(-1;- 1), C(5 - 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC;

b) Đường trung trực cạnh AB;

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

a) Phương trình đường thằng d đi qua hai điểm $A\left( {{x_o};{y_o}} \right);B\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ là: $\frac{{x - {x_o}}}{{{x_1} - {x_o}}} = \frac{{y - {y_o}}}{{{y_1} - {y_o}}}$

b) và c) Phương trình tổng quát của đường thẳng$\Delta$ đi qua điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {{\rm{a }};{\rm{ b}}} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne 0} \right)$làm vecto pháp tuyến là: $a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0$ 

a)  Phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B là: $\frac{{x - 1}}{{ - 1 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$

 Phương trình đường thẳng AC đi qua 2 điểm A và C là: $\frac{{x - 1}}{{5 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 3}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x + 2y - 9 = 0$

 Phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm B và C là:

$\frac{{x + 1}}{{5 + 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0$

b)  Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

 Lấy N là trung điểm của AB, suy ra $N\left( {0;1} \right)$.

 Do $d \bot AB$ nên ta có vecto pháp tuyến của d là: $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)$

 Vậy phương trình đường thẳng d đi qua N có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)$ là:

$1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0$

c)  Do AH vuông góc với BC nên vecto pháp tuyến của AH là $\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)$

 Vậy phương trình đường cao AH đi qua điểm A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)$là: $3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0$

 Do M là trung điểm BC nên $M\left( {2; - 2} \right)$. Vậy ta có: $\overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)$

 Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)$ là:

$5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 8 = 0$