Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B
b*) Tìm toạ độ điểm N thuộc ∆ sao cho |→NA+→NB+→NC−−→NA+−−→NB+−−→NC| có giá trị nhỏ nhất.
Bước 1: Tham số hóa điểm M và N theo PT tổng quát ∆
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập PT AM = BM
Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M
Bước 4: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn →IA+→IB+→IC=→0−→IA+−→IB+−→IC=→0
Bước 5: Biến đổi và tìm GTNN của biểu thức |→NA+→NB+→NC−−→NA+−−→NB+−−→NC| để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết
a) Gọi M(t;4−2t)∈ΔM(t;4−2t)∈Δ
Ta có: →AM=(t+2;−2t+2)−−→AM=(t+2;−2t+2), →BM=(t−7;−2t−1)−−→BM=(t−7;−2t−1)
Advertisements (Quảng cáo)
Theo giả thiết, M cách đều hai điểm A và B ⇒AM=BM⇔AM2=BM2⇒AM=BM⇔AM2=BM2
⇔(t+2)2+(−2t+2)2=(t−7)2+(−2t−1)2⇔(t+2)2+(−2t+2)2=(t−7)2+(−2t−1)2
⇔−4t+8=−10t+50⇔6t=42⇔t=7⇔−4t+8=−10t+50⇔6t=42⇔t=7
Vậy M(7 ; -10)
b*) Ta có: →AB=(9;3),→AC=(6;−7)−−→AB=(9;3),−−→AC=(6;−7)
Vì 96≠3−796≠3−7 nên →AB−−→AB và →AC−−→AC không cùng phương ⇒A,B,C⇒A,B,C không thẳng hàng
Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒G(3;23)⇒G(3;23) và →GA+→GB+→GC=→0−−→GA+−−→GB+−−→GC=→0
Xét |→NA+→NB+→NC|=|→NG+→GA+→NG+→GB+→NG+→GC|∣∣∣−−→NA+−−→NB+−−→NC∣∣∣=∣∣∣−−→NG+−−→GA+−−→NG+−−→GB+−−→NG+−−→GC∣∣∣=|3→NG|=3NG=∣∣∣3−−→NG∣∣∣=3NG
|→NA+→NB+→NC|∣∣∣−−→NA+−−→NB+−−→NC∣∣∣ nhỏ nhất khi và chỉ khi NG nhỏ nhất ⇔⇔ N là hình chiếu của G trên ∆
Gọi d là đường thẳng đi qua G, vuông góc với ∆
∆ có VTPT →n=(2;1)→n=(2;1) ⇒⇒ ∆ có một VTCP là →u=(1;−2)→u=(1;−2)
Do d⊥Δd⊥Δ nên d nhận →u=(1;−2)→u=(1;−2)làm VTPT ⇒⇒ d có PT: 3x – 6y – 5 = 0
N là giao điểm của d và ∆ ⇒⇒ tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: {2x+y−4=03x−6y−5=0⇔{x=2915y=215
Vậy N(2915;215)