Bài 1 trang 101 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Tính các tích vô hướng:...

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$

Bước 1: Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Bước 2: Tính $\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {\overrightarrow b } \right|$ và góc $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Ta có: $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

+) $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0$

+) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2.\cos 45^\circ  = a^2$

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ  =  - {a^2}$

+) $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0$

Chú ý

$\overrightarrow {a}  \bot \overrightarrow {b}  \Leftrightarrow \overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}  = 0$