Bài 7 trang 93 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K  th...

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K  thỏa mãn $\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow 0$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow {KA} ,\overrightarrow {GH} ,\overrightarrow {AG}$.

Ta có $AC = AB\sqrt 2  = a\sqrt 2$

+) $\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0$,

Suy ra K là trung điểm AC $\Rightarrow AK = \frac{1}{2}.a\sqrt 2  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

+) $\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow 0$, suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow DH = \frac{2}{3}DK = \frac{1}{3}DB$ (1)

+) $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$, suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow BG = \frac{2}{3}BK = \frac{1}{3}BD$ (2)

$(1,2) \Rightarrow HG = \frac{1}{3}BD=\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$

Mà $KG = KH = \frac{1}{2}HG= \frac{{a\sqrt 2 }}{6}$ (2)

$\Rightarrow  AG = \sqrt {A{K^2} + G{K^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow {KA}\right| =\frac{{a\sqrt 2 }}{2} ,\left|\overrightarrow {GH}\right|=\frac{{a\sqrt 2 }}{3} ,\left|\overrightarrow {AG}\right|=\frac{{a\sqrt 5 }}{3}$.